Επίλυση 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+84. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -32.

$$a=-18 b=-14$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-32x+84 ως \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο -14 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -32 και το c με 84 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -32 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 1024 και το -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -32 είναι 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{32±4}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 32 και το 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Διαιρέστε το 36 με το 6.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{32±4}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{28}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Αφαιρέστε 84 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Η αφαίρεση του 84 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Διαιρέστε το -84 με το 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Διαιρέστε το -\frac{32}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{16}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{16}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{16}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Προσθέστε το -28 και το \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Προσθέστε \frac{16}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$