Επίλυση 3x^2-24x-252=0

$$3 x ^ { 2 } - 24 x - 252 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-6$$

$$x=14$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$x^{2}-8x-84=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-84. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=1\left(-84\right)=-84$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-14 b=6$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-8x-84 ως \left(x^{2}-14x\right)+\left(6x-84\right).

$$\left(x^{2}-14x\right)+\left(6x-84\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-14\right)+6\left(x-14\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-14 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-14\right)\left(x+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-14=0 και x+6=0.

$$x=14 x=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-24x-252=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -24 και το c με -252 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\left(-252\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -24 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\left(-252\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\left(-252\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -252.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+3024}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 576 και το 3024.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{3600}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 3600.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±60}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -24 είναι 24.

$$x=\frac{24±60}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{24±60}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{24±60}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 24 και το 60.

$$x=\frac{84}{6}$$

Διαιρέστε το 84 με το 6.

$$x=14$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{24±60}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 60 από 24.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Διαιρέστε το -36 με το 6.

$$x=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=14 x=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-24x-252=0$$

Προσθέστε 252 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-24x-252-\left(-252\right)=-\left(-252\right)$$

Η αφαίρεση του -252 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-24x=-\left(-252\right)$$

Αφαιρέστε -252 από 0.

$$3x^{2}-24x=252$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-24x}{3}=\frac{252}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)x=\frac{252}{3}$$

Διαιρέστε το -24 με το 3.

$$x^{2}-8x=\frac{252}{3}$$

Διαιρέστε το 252 με το 3.

$$x^{2}-8x=84$$

Διαιρέστε το -8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=84+\left(-4\right)^{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+16=84+16$$

Προσθέστε το 84 και το 16.

$$x^{2}-8x+16=100$$

Παραγον x^{2}-8x+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=100$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{100}$$

Απλοποιήστε.

$$x-4=10 x-4=-10$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=14 x=-6$$