Επίλυση 3x^2-20x-68=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x - 68 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{4 \sqrt{19} + 10}{3} \approx 9,145198591$$

$$x=\frac{10-4\sqrt{19}}{3}\approx -2,478531925$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-20x-68=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -20 και το c με -68 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -68.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+816}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 400 και το 816.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{1216}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1216.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±8\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -20 είναι 20.

$$x=\frac{20±8\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{20±8\sqrt{19}}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{20±8\sqrt{19}}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 20 και το 8\sqrt{19}.

$$x=\frac{8\sqrt{19}+20}{6}$$

Διαιρέστε το 20+8\sqrt{19} με το 6.

$$x=\frac{4\sqrt{19}+10}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{20±8\sqrt{19}}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8\sqrt{19} από 20.

$$x=\frac{20-8\sqrt{19}}{6}$$

Διαιρέστε το 20-8\sqrt{19} με το 6.

$$x=\frac{10-4\sqrt{19}}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{4\sqrt{19}+10}{3} x=\frac{10-4\sqrt{19}}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x-68=0$$

Προσθέστε 68 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-20x-68-\left(-68\right)=-\left(-68\right)$$

Η αφαίρεση του -68 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-20x=-\left(-68\right)$$

Αφαιρέστε -68 από 0.

$$3x^{2}-20x=68$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=\frac{68}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{68}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{20}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{10}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{10}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{68}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{10}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{68}{3}+\frac{100}{9}$$

Προσθέστε το \frac{68}{3} και το \frac{100}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{304}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{304}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{304}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{4\sqrt{19}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{4\sqrt{19}}{3}$$

Προσθέστε \frac{10}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{4\sqrt{19}+10}{3} x=\frac{10-4\sqrt{19}}{3}$$