Επίλυση 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -20 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 400 και το -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -20 είναι 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 20 και το 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Διαιρέστε το 20+2\sqrt{97} με το 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{97} από 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Διαιρέστε το 20-2\sqrt{97} με το 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{20}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{10}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{10}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{10}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{3} και το \frac{100}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Προσθέστε \frac{10}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$