Επίλυση 3x^2+x-4=0

$$3 x ^ { 2 } + x - 4 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-3 b=4$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+x-4 ως \left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην πρώτη και το 4 στη δεύτερη ομάδα.

$$3x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(3x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-1=0 και 3x+4=0.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 1 και το c με -4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 1 και το 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-1±7}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±7}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το 6 με το 6.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±7}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -1.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Η αφαίρεση του -4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+x=-\left(-4\right)$$

Αφαιρέστε -4 από 0.

$$3x^{2}+x=4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{4}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{4}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Προσθέστε το \frac{4}{3} και το \frac{1}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$