Επίλυση 3x^2+x-2<0

$$3 x ^ { 2 } + x - 2 < 0$$

Λύση ως προς x

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+x-2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 3 για a, 1 για b και -2 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-1±5}{6}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{-1±5}{6} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\frac{2}{3} x=-1$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+1\right)<0$$

Για να είναι αρνητικό το γινόμενο, τα x-\frac{2}{3} και x+1 πρέπει να έχουν αντίθετο πρόσημο. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\frac{2}{3} είναι θετικό και το x+1 είναι αρνητικό.

$$x-\frac{2}{3}>0 x+1<0$$

Αυτό είναι ψευδές για οποιοδήποτε x.

$$x\in \emptyset$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x+1 είναι θετικό και το x-\frac{2}{3} είναι αρνητικό.

$$x+1>0 x-\frac{2}{3}<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right).

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$