Επίλυση 3x^2+9x-30=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-5$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$-1,10 -2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-2 b=5$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+3x-10 ως \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 5 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-2=0 και x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 9 και το c με -30 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 81 και το 360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±21}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 21.

$$x=\frac{12}{6}$$

Διαιρέστε το 12 με το 6.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±21}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από -9.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Διαιρέστε το -30 με το 6.

$$x=-5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=-5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Προσθέστε 30 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Η αφαίρεση του -30 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

Αφαιρέστε -30 από 0.

$$3x^{2}+9x=30$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

Διαιρέστε το 9 με το 3.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

Διαιρέστε το 30 με το 3.

$$x^{2}+3x=10$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 10 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-5$$