Επίλυση 3x^2+9x+6=90

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

Λύση ως προς x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 90 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Αφαιρέστε 90 από 6 για να λάβετε -84.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-28. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-4 b=7$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+3x-28 ως \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Αφαιρέστε 90 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

Η αφαίρεση του 90 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Αφαιρέστε 90 από 6.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 9 και το c με -84 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -84.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 81 και το 1008.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1089.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±33}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 33.

$$x=\frac{24}{6}$$

Διαιρέστε το 24 με το 6.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±33}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 33 από -9.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Διαιρέστε το -42 με το 6.

$$x=-7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=-7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

Η αφαίρεση του 6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

Αφαιρέστε 6 από 90.

$$3x^{2}+9x=84$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

Διαιρέστε το 9 με το 3.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

Διαιρέστε το 84 με το 3.

$$x^{2}+3x=28$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 28 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Παραγον x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-7$$