Επίλυση 3x^2+45=24x

$$3 x ^ { 2 } + 45 = 24 x$$

Λύση ως προς x

$$x=3$$

$$x=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 24x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+45-24x=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$x^{2}+15-8x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}-8x+15=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-5 b=-3$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-8x+15 ως \left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το -3 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-5=0 και x-3=0.

$$x=5 x=3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 24x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+45-24x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-24x+45=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -24 και το c με 45 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -24 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 45.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 576 και το -540.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 36.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -24 είναι 24.

$$x=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{24±6}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{24±6}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 24 και το 6.

$$x=\frac{30}{6}$$

Διαιρέστε το 30 με το 6.

$$x=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{24±6}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6 από 24.

$$x=\frac{18}{6}$$

Διαιρέστε το 18 με το 6.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=5 x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 24x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+45-24x=0$$

Αφαιρέστε 45 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$3x^{2}-24x=-45$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-24x}{3}=-\frac{45}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)x=-\frac{45}{3}$$

Διαιρέστε το -24 με το 3.

$$x^{2}-8x=-\frac{45}{3}$$

Διαιρέστε το -45 με το 3.

$$x^{2}-8x=-15$$

Διαιρέστε το -8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+16=-15+16$$

Προσθέστε το -15 και το 16.

$$x^{2}-8x+16=1$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-8x+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Απλοποιήστε.

$$x-4=1 x-4=-1$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=3$$