Επίλυση 3x^2+4x-1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\approx 0,215250437$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\approx -1,54858377$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 4 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 16 και το 12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 28.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-4}{6}$$

Διαιρέστε το -4+2\sqrt{7} με το 6.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{7} από -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-4}{6}$$

Διαιρέστε το -4-2\sqrt{7} με το 6.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Η αφαίρεση του -1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Αφαιρέστε -1 από 0.

$$3x^{2}+4x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{1}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το \frac{1}{3} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{2}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$