Επίλυση 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-35. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 16.

$$a=-5 b=21$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+16x-35 ως \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-5=0 και x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 16 και το c με -35 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 16 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 256 και το 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±26}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -16 και το 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±26}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 26 από -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Διαιρέστε το -42 με το 6.

$$x=-7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Προσθέστε 35 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Η αφαίρεση του -35 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Αφαιρέστε -35 από 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{16}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{8}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{8}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{8}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Προσθέστε το \frac{35}{3} και το \frac{64}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{8}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$