Επίλυση 3x^2+11x-20

$$3 x ^ { 2 } + 11 x - 20$$

Παράγοντας

$$\left(3x-4\right)\left(x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=3\left(-20\right)=-60$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=-4 b=15$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+11x-20 ως \left(3x^{2}-4x\right)+\left(15x-20\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(15x-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x-4\right)+5\left(3x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-4\right)\left(x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+11x-20=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 121 και το 240.

$$x=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$x=\frac{-11±19}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-11±19}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±19}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 19.

$$x=\frac{8}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±19}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από -11.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Διαιρέστε το -30 με το 6.

$$x=-5$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{4}{3} με το x_{1} και το -5 με το x_{2}.

$$3x^{2}+11x-20=3\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3x^{2}+11x-20=3\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+5\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{4}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3x^{2}+11x-20=3\times \frac{3x-4}{3}\left(x+5\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3x^{2}+11x-20=\left(3x-4\right)\left(x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x-4\right)\left(x+5\right)$$