Επίλυση 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από 5 για να λάβετε 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4.

$$-1,4 -2,2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=4 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+3x+4 ως \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το -x στην πρώτη και το -1 στη δεύτερη ομάδα.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-4=0 και -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από 5 για να λάβετε 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 3 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±5}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Διαιρέστε το 2 με το -2.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±5}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Διαιρέστε το -8 με το -2.

$$x=4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Αφαιρέστε 5 από 1 για να λάβετε -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Διαιρέστε το 3 με το -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Διαιρέστε το -4 με το -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Διαιρέστε το -3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 4 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Προσθέστε \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-1$$