Επίλυση 3v^2+5v-8=0

$$3 v ^ { 2 } + 5 v - 8 = 0$$

Λύση ως προς v

$$v = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$v=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3v^{2}+av+bv-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-3 b=8$$

Γράψτε πάλι το 3v^{2}+5v-8 ως \left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right).

$$\left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3v στο πρώτο και στο 8 της δεύτερης ομάδας.

$$3v\left(v-1\right)+8\left(v-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο v-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(v-1\right)\left(3v+8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε v-1=0 και 3v+8=0.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 5 και το c με -8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -8.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 25 και το 96.

$$v=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$v=\frac{-5±11}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$v=\frac{-5±11}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση v=\frac{-5±11}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 11.

$$v=\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το 6 με το 6.

$$v=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση v=\frac{-5±11}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -5.

$$v=-\frac{16}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$v=-\frac{8}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Προσθέστε 8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3v^{2}+5v-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Η αφαίρεση του -8 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3v^{2}+5v=-\left(-8\right)$$

Αφαιρέστε -8 από 0.

$$3v^{2}+5v=8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3v^{2}+5v}{3}=\frac{8}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v=\frac{8}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{5}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{8}{3}+\frac{25}{36}$$

Προσθέστε το \frac{8}{3} και το \frac{25}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{121}{36}$$

Παραγον v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$v+\frac{5}{6}=\frac{11}{6} v+\frac{5}{6}=-\frac{11}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$