Επίλυση 3t^2+20t-32

$$3 t ^ { 2 } + 20 t - 32$$

Παράγοντας

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3t^{2}+at+bt-32. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=20 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 20.

$$a=-4 b=24$$

Γράψτε πάλι το 3t^{2}+20t-32 ως \left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right).

$$\left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right)$$

Παραγοντοποιήστε t στο πρώτο και στο 8 της δεύτερης ομάδας.

$$t\left(3t-4\right)+8\left(3t-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3t-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3t^{2}+20t-32=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 20 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -32.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 400 και το 384.

$$t=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 784.

$$t=\frac{-20±28}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$t=\frac{-20±28}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-20±28}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -20 και το 28.

$$t=\frac{8}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$t=\frac{4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-20±28}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 28 από -20.

$$t=-\frac{48}{6}$$

Διαιρέστε το -48 με το 6.

$$t=-8$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{4}{3} με το x_{1} και το -8 με το x_{2}.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t-\left(-8\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t+8\right)$$

Αφαιρέστε t από \frac{4}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3t^{2}+20t-32=3\times \frac{3t-4}{3}\left(t+8\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3t^{2}+20t-32=\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$