Επίλυση 3r^2+r-14

$$3 r ^ { 2 } + r - 14$$

Παράγοντας

$$\left(r-2\right)\left(3r+7\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3r^{2}+ar+br-14. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=3\left(-14\right)=-42$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-6 b=7$$

Γράψτε πάλι το 3r^{2}+r-14 ως \left(3r^{2}-6r\right)+\left(7r-14\right).

$$\left(3r^{2}-6r\right)+\left(7r-14\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3r στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$3r\left(r-2\right)+7\left(r-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο r-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(r-2\right)\left(3r+7\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3r^{2}+r-14=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -14.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 1 και το 168.

$$r=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$r=\frac{-1±13}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$r=\frac{-1±13}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-1±13}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 13.

$$r=\frac{12}{6}$$

Διαιρέστε το 12 με το 6.

$$r=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-1±13}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -1.

$$r=-\frac{14}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$r=-\frac{7}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 2 με το x_{1} και το -\frac{7}{3} με το x_{2}.

$$3r^{2}+r-14=3\left(r-2\right)\left(r-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3r^{2}+r-14=3\left(r-2\right)\left(r+\frac{7}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{7}{3} και το r βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3r^{2}+r-14=3\left(r-2\right)\times \frac{3r+7}{3}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3r^{2}+r-14=\left(r-2\right)\left(3r+7\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(r-2\right)\left(3r+7\right)$$