Επίλυση 3r^2+9r+6=0

$$3 r ^ { 2 } + 9 r + 6 = 0$$

Λύση ως προς r

$$r=-2$$

$$r=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$r^{2}+3r+2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως r^{2}+ar+br+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=1 b=2$$

Γράψτε πάλι το r^{2}+3r+2 ως \left(r^{2}+r\right)+\left(2r+2\right).

$$\left(r^{2}+r\right)+\left(2r+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε r στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$r\left(r+1\right)+2\left(r+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο r+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(r+1\right)\left(r+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε r+1=0 και r+2=0.

$$r=-1 r=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3r^{2}+9r+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 9 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 6.

$$r=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 81 και το -72.

$$r=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$r=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$r=\frac{-9±3}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-9±3}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 3.

$$r=-\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το -6 με το 6.

$$r=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-9±3}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από -9.

$$r=-\frac{12}{6}$$

Διαιρέστε το -12 με το 6.

$$r=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$r=-1 r=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}+9r+6=0$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3r^{2}+9r+6-6=-6$$

Η αφαίρεση του 6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3r^{2}+9r=-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3r^{2}+9r}{3}=-\frac{6}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$r^{2}+\frac{9}{3}r=-\frac{6}{3}$$

Διαιρέστε το 9 με το 3.

$$r^{2}+3r=-\frac{6}{3}$$

Διαιρέστε το -6 με το 3.

$$r^{2}+3r=-2$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$r^{2}+3r+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$r^{2}+3r+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το -2 και το \frac{9}{4}.

$$r^{2}+3r+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Παραγον r^{2}+3r+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(r+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$r+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} r+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$r=-1 r=-2$$