Επίλυση 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Λύση ως προς q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3q^{2}+aq+bq+16. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -19.

$$a=-16 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 3q^{2}-19q+16 ως \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Παραγοντοποιήστε το q στην πρώτη και το -1 στη δεύτερη ομάδα.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3q-16 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 3q-16=0 και q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -19 και το c με 16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -19 στο τετράγωνο.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 361 και το -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -19 είναι 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση q=\frac{19±13}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 19 και το 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{32}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση q=\frac{19±13}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το 6 με το 6.

$$q=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Η αφαίρεση του 16 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{19}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{19}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{19}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{19}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Προσθέστε το -\frac{16}{3} και το \frac{361}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Παραγοντοποιήστε το q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Προσθέστε \frac{19}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$