Επίλυση 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Λύση ως προς p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3p^{2}+ap+bp+5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-5 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 3p^{2}-8p+5 ως \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε p στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3p-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3p-5=0 και p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -8 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 64 και το -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{8±2}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{8±2}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το 6 με το 6.

$$p=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{8}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{4}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{4}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{4}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{3} και το \frac{16}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Παραγον p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Προσθέστε \frac{4}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$