Επίλυση 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Λύση ως προς n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3n^{2}+an+bn-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -4.

$$a=-9 b=5$$

Γράψτε πάλι το 3n^{2}-4n-15 ως \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3n στην πρώτη και το 5 στη δεύτερη ομάδα.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε n-3=0 και 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -4 και το c με -15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 16 και το 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{4±14}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Διαιρέστε το 18 με το 6.

$$n=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{4±14}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 14 από 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Προσθέστε 15 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Η αφαίρεση του -15 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Αφαιρέστε -15 από 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Διαιρέστε το 15 με το 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Διαιρέστε το -\frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το 5 και το \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Παραγοντοποιήστε το n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Προσθέστε \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$