Επίλυση 3n^2-16n+20

$$3 n ^ { 2 } - 16 n + 20$$

Παράγοντας

$$\left(n-2\right)\left(3n-10\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3n^{2}+an+bn+20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-16 ab=3\times 20=60$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -16.

$$a=-10 b=-6$$

Γράψτε πάλι το 3n^{2}-16n+20 ως \left(3n^{2}-10n\right)+\left(-6n+20\right).

$$\left(3n^{2}-10n\right)+\left(-6n+20\right)$$

Παραγοντοποιήστε n στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$n\left(3n-10\right)-2\left(3n-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3n-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3n-10\right)\left(n-2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3n^{2}-16n+20=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -16 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 20.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 256 και το -240.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±4}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -16 είναι 16.

$$n=\frac{16±4}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$n=\frac{16±4}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{16±4}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 16 και το 4.

$$n=\frac{20}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{20}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$n=\frac{10}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{16±4}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από 16.

$$n=\frac{12}{6}$$

Διαιρέστε το 12 με το 6.

$$n=2$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{10}{3} με το x_{1} και το 2 με το x_{2}.

$$3n^{2}-16n+20=3\left(n-\frac{10}{3}\right)\left(n-2\right)$$

Αφαιρέστε n από \frac{10}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3n^{2}-16n+20=3\times \frac{3n-10}{3}\left(n-2\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3n^{2}-16n+20=\left(3n-10\right)\left(n-2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(n-2\right)\left(3n-10\right)$$