Επίλυση 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Λύση ως προς n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3n^{2}+an+bn-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=-2 b=12$$

Γράψτε πάλι το 3n^{2}+10n-8 ως \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε n στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3n-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3n-2=0 και n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3n^{2}+10n=8$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Η αφαίρεση του 8 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 10 και το c με -8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 10 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 100 και το 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-10±14}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -10 και το 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-10±14}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 14 από -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Διαιρέστε το -24 με το 6.

$$n=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{10}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Προσθέστε το \frac{8}{3} και το \frac{25}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Παραγον n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$