Επίλυση 3f^2+17f-6=0

$$3 f ^ { 2 } + 17 f - 6 = 0$$

Λύση ως προς f

$$f=-6$$

$$f=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3f^{2}+af+bf-6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=17 ab=3\left(-6\right)=-18$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 17.

$$a=-1 b=18$$

Γράψτε πάλι το 3f^{2}+17f-6 ως \left(3f^{2}-f\right)+\left(18f-6\right).

$$\left(3f^{2}-f\right)+\left(18f-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε f στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$f\left(3f-1\right)+6\left(3f-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3f-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3f-1\right)\left(f+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3f-1=0 και f+6=0.

$$f=\frac{1}{3} f=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3f^{2}+17f-6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 17 και το c με -6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 17 στο τετράγωνο.

$$f=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$f=\frac{-17±\sqrt{289-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -6.

$$f=\frac{-17±\sqrt{289+72}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 289 και το 72.

$$f=\frac{-17±\sqrt{361}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$f=\frac{-17±19}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$f=\frac{-17±19}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση f=\frac{-17±19}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -17 και το 19.

$$f=\frac{2}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$f=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση f=\frac{-17±19}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από -17.

$$f=-\frac{36}{6}$$

Διαιρέστε το -36 με το 6.

$$f=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$f=\frac{1}{3} f=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3f^{2}+17f-6=0$$

Προσθέστε 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3f^{2}+17f-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Η αφαίρεση του -6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3f^{2}+17f=-\left(-6\right)$$

Αφαιρέστε -6 από 0.

$$3f^{2}+17f=6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3f^{2}+17f}{3}=\frac{6}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$f^{2}+\frac{17}{3}f=\frac{6}{3}$$

Διαιρέστε το 6 με το 3.

$$f^{2}+\frac{17}{3}f=2$$

Διαιρέστε το \frac{17}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{17}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{17}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$f^{2}+\frac{17}{3}f+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=2+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{17}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$f^{2}+\frac{17}{3}f+\frac{289}{36}=2+\frac{289}{36}$$

Προσθέστε το 2 και το \frac{289}{36}.

$$f^{2}+\frac{17}{3}f+\frac{289}{36}=\frac{361}{36}$$

Παραγον f^{2}+\frac{17}{3}f+\frac{289}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{361}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(f+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$f+\frac{17}{6}=\frac{19}{6} f+\frac{17}{6}=-\frac{19}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{17}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$f=\frac{1}{3} f=-6$$