Επίλυση 3X=sqrt{X^2+6}-4

$$3 X = \sqrt { X ^ { 2 } + 6 } - 4$$

Λύση ως προς X

$$X=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3X+4=\sqrt{X^{2}+6}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(3X+4\right)^{2}=\left(\sqrt{X^{2}+6}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3X+4\right)^{2}.

$$9X^{2}+24X+16=\left(\sqrt{X^{2}+6}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{X^{2}+6}στη δύναμη του 2 και λάβετε X^{2}+6.

$$9X^{2}+24X+16=X^{2}+6$$

Αφαιρέστε X^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9X^{2}+24X+16-X^{2}=6$$

Συνδυάστε το 9X^{2} και το -X^{2} για να λάβετε 8X^{2}.

$$8X^{2}+24X+16=6$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές.

$$8X^{2}+24X+16-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από 16 για να λάβετε 10.

$$8X^{2}+24X+10=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$4X^{2}+12X+5=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4X^{2}+aX+bX+5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=2 b=10$$

Γράψτε πάλι το 4X^{2}+12X+5 ως \left(4X^{2}+2X\right)+\left(10X+5\right).

$$\left(4X^{2}+2X\right)+\left(10X+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2X στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2X\left(2X+1\right)+5\left(2X+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2X+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2X+1\right)\left(2X+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2X+1=0 και 2X+5=0.

$$X=-\frac{1}{2} X=-\frac{5}{2}$$

Αντικαταστήστε το X με -\frac{1}{2} στην εξίσωση 3X=\sqrt{X^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Απλοποιήστε. Η τιμή X=-\frac{1}{2} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Αντικαταστήστε το X με -\frac{5}{2} στην εξίσωση 3X=\sqrt{X^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{5}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Απλοποιήστε. Η τιμή X=-\frac{5}{2} δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$-\frac{15}{2}=-\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση 3X+4=\sqrt{X^{2}+6} έχει μια μοναδική λύση.

$$X=-\frac{1}{2}$$