Επίλυση 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Λύση ως προς z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως z^{2}+az+bz+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=1 b=2$$

Γράψτε πάλι το z^{2}+3z+2 ως \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το z στην πρώτη και το 2 στη δεύτερη ομάδα.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο z+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε z+1=0 και z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 9 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 81 και το -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-9±3}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το -6 με το 6.

$$z=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-9±3}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Διαιρέστε το -12 με το 6.

$$z=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=-1 z=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Η αφαίρεση του 6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Διαιρέστε το 9 με το 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Διαιρέστε το -6 με το 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το -2 και το \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=-1 z=-2$$