Επίλυση 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Παράγοντας

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Βήματα λύσης

Για να παραγοντοποιήστε την παράσταση, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -40 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 3. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-2$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 με το x+2 για να λάβετε 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Για να παραγοντοποιήστε το αποτέλεσμα, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -20 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 3. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=\frac{5}{3}$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 με το 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 για να λάβετε x^{2}+4. Για να παραγοντοποιήστε το αποτέλεσμα, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$x^{2}+4=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 0 για b και 4 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Το πολυώνυμο x^{2}+4 δεν έχει παραγοντοποιηθεί, επειδή δεν έχει λογικές ρίζες.

$$x^{2}+4$$

Γράψτε ξανά την παραγοντοποιημένη παράσταση χρησιμοποιώντας τις ρίζες που έχουν ληφθεί.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$