Επίλυση 3x^2-8x-15=0

$$3 { x }^{ 2 } -8x-15 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3,936749892$$

$$x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1,270083225$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-8x-15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -8 και το c με -15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 64 και το 180.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 244.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

Διαιρέστε το 8+2\sqrt{61} με το 6.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{61} από 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

Διαιρέστε το 8-2\sqrt{61} με το 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-15=0$$

Προσθέστε 15 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-8x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Η αφαίρεση του -15 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-15\right)$$

Αφαιρέστε -15 από 0.

$$3x^{2}-8x=15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{15}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{15}{3}$$

Διαιρέστε το 15 με το 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=5$$

Διαιρέστε το -\frac{8}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{4}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{4}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{4}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Προσθέστε το 5 και το \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Προσθέστε \frac{4}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$