Επίλυση 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-372. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-36 b=31$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-5x-372 ως \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην πρώτη και το 31 στη δεύτερη ομάδα.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-12=0 και 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -5 και το c με -372 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 25 και το 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±67}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Διαιρέστε το 72 με το 6.

$$x=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±67}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 67 από 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-62}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Προσθέστε 372 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Η αφαίρεση του -372 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Αφαιρέστε -372 από 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Διαιρέστε το 372 με το 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Προσθέστε το 124 και το \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Προσθέστε \frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$