Επίλυση 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-60. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -31.

$$a=-36 b=5$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-31x-60 ως \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -31 και το c με -60 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -31 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 961 και το 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -31 είναι 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{31±41}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 31 και το 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Διαιρέστε το 72 με το 6.

$$x=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{31±41}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 41 από 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Προσθέστε 60 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Η αφαίρεση του -60 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Αφαιρέστε -60 από 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Διαιρέστε το 60 με το 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Διαιρέστε το -\frac{31}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{31}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{31}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{31}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Προσθέστε το 20 και το \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Παραγον x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Προσθέστε \frac{31}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$