Επίλυση 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -2 και το c με -9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 4 και το 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Διαιρέστε το 2+4\sqrt{7} με το 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4\sqrt{7} από 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Διαιρέστε το 2-4\sqrt{7} με το 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Προσθέστε 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Η αφαίρεση του -9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Αφαιρέστε -9 από 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Διαιρέστε το 9 με το 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Προσθέστε το 3 και το \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Προσθέστε \frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$