Επίλυση 3x^2-2x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x+9 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}\approx 0,333333333+1,699673171i$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,699673171i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -2 και το c με 9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 9}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-108}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 4 και το -108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-104}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -104.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 2i\sqrt{26}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{26}i}{6}$$

Διαιρέστε το 2+2i\sqrt{26} με το 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{26} από 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i+2}{6}$$

Διαιρέστε το 2-2i\sqrt{26} με το 6.

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-2x+9-9=-9$$

Η αφαίρεση του 9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-2x=-9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Διαιρέστε το -9 με το 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-3$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-3+\frac{1}{9}$$

Προσθέστε το -3 και το \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{26}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{26}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{26}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{26}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{26}i}{3}$$

Προσθέστε \frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$