Επίλυση 3x^2-20x-63

$$3 { x }^{ 2 } -20x-63$$

Παράγοντας

$$\left(x-9\right)\left(3x+7\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-63. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-20 ab=3\left(-63\right)=-189$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -189.

$$1,-189 3,-63 7,-27 9,-21$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-189=-188 3-63=-60 7-27=-20 9-21=-12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -20.

$$a=-27 b=7$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-20x-63 ως \left(3x^{2}-27x\right)+\left(7x-63\right).

$$\left(3x^{2}-27x\right)+\left(7x-63\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-9\right)+7\left(x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-9\right)\left(3x+7\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-20x-63=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3\left(-63\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3\left(-63\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12\left(-63\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -63.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+756}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 400 και το 756.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{1156}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1156.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±34}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -20 είναι 20.

$$x=\frac{20±34}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{20±34}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{20±34}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 20 και το 34.

$$x=\frac{54}{6}$$

Διαιρέστε το 54 με το 6.

$$x=9$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{20±34}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 34 από 20.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 9 με το x_{1} και το -\frac{7}{3} με το x_{2}.

$$3x^{2}-20x-63=3\left(x-9\right)\left(x-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3x^{2}-20x-63=3\left(x-9\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{7}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3x^{2}-20x-63=3\left(x-9\right)\times \frac{3x+7}{3}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3x^{2}-20x-63=\left(x-9\right)\left(3x+7\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-9\right)\left(3x+7\right)$$