Επίλυση 3x^2-15x=18

$$3 { x }^{ 2 } -15x=18$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 18 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$1,-6 2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-6 b=1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-5x-6 ως \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση x^{2}-6x.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x+1=0.

$$x=6 x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-15x=18$$

Αφαιρέστε 18 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-15x-18=18-18$$

Η αφαίρεση του 18 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -15 και το c με -18 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -18.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+216}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 225 και το 216.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±21}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -15 είναι 15.

$$x=\frac{15±21}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{15±21}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±21}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 15 και το 21.

$$x=\frac{36}{6}$$

Διαιρέστε το 36 με το 6.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±21}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από 15.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το -6 με το 6.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6 x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x=18$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{18}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{18}{3}$$

Διαιρέστε το -15 με το 3.

$$x^{2}-5x=\frac{18}{3}$$

Διαιρέστε το 18 με το 3.

$$x^{2}-5x=6$$

Διαιρέστε το -5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το 6 και το \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγον x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Προσθέστε \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=-1$$