Επίλυση 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -10.

$$a=-12 b=2$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-10x-8 ως \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -10 και το c με -8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 100 και το 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±14}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Διαιρέστε το 24 με το 6.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±14}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 14 από 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Προσθέστε 8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Η αφαίρεση του -8 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Αφαιρέστε -8 από 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{10}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Προσθέστε το \frac{8}{3} και το \frac{25}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Προσθέστε \frac{5}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$