Επίλυση 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 138 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-138. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-18 b=23$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+5x-138 ως \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην πρώτη και το 23 στη δεύτερη ομάδα.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-6=0 και 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+5x=138$$

Αφαιρέστε 138 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Η αφαίρεση του 138 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 5 και το c με -138 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 25 και το 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±41}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Διαιρέστε το 36 με το 6.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±41}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 41 από -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-46}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Διαιρέστε το 138 με το 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Διαιρέστε το \frac{5}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Προσθέστε το 46 και το \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$