Επίλυση 3x^2+5x+6=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+6=0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6}\approx -0,833333333+1,1426091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}\approx -0,833333333-1,1426091i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+5x+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 5 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 6}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-72}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 25 και το -72.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-47}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -47.

$$x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{47} από -5.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6} x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+6=0$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+5x+6-6=-6$$

Η αφαίρεση του 6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+5x=-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{6}{3}$$

Διαιρέστε το -6 με το 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-2$$

Διαιρέστε το \frac{5}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-2+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-2+\frac{25}{36}$$

Προσθέστε το -2 και το \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{47}{36}$$

Παραγον x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{47}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{47}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{47}i}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6} x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$