Επίλυση 3x^2+53x-720=0

$$3 { x }^{ 2 } +53x-720=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{80}{3} = -26\frac{2}{3} \approx -26,666666667$$

$$x=9$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-720. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=53 ab=3\left(-720\right)=-2160$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -2160.

$$-1,2160 -2,1080 -3,720 -4,540 -5,432 -6,360 -8,270 -9,240 -10,216 -12,180 -15,144 -16,135 -18,120 -20,108 -24,90 -27,80 -30,72 -36,60 -40,54 -45,48$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+2160=2159 -2+1080=1078 -3+720=717 -4+540=536 -5+432=427 -6+360=354 -8+270=262 -9+240=231 -10+216=206 -12+180=168 -15+144=129 -16+135=119 -18+120=102 -20+108=88 -24+90=66 -27+80=53 -30+72=42 -36+60=24 -40+54=14 -45+48=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 53.

$$a=-27 b=80$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+53x-720 ως \left(3x^{2}-27x\right)+\left(80x-720\right).

$$\left(3x^{2}-27x\right)+\left(80x-720\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 80 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-9\right)+80\left(x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-9\right)\left(3x+80\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-9=0 και 3x+80=0.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+53x-720=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 53 και το c με -720 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-53±\sqrt{53^{2}-4\times 3\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 53 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809-4\times 3\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809-12\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -720.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809+8640}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 2809 και το 8640.

$$x=\frac{-53±\sqrt{11449}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 11449.

$$x=\frac{-53±107}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-53±107}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-53±107}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -53 και το 107.

$$x=\frac{54}{6}$$

Διαιρέστε το 54 με το 6.

$$x=9$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-53±107}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 107 από -53.

$$x=-\frac{160}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-160}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{80}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+53x-720=0$$

Προσθέστε 720 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+53x-720-\left(-720\right)=-\left(-720\right)$$

Η αφαίρεση του -720 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+53x=-\left(-720\right)$$

Αφαιρέστε -720 από 0.

$$3x^{2}+53x=720$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+53x}{3}=\frac{720}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x=\frac{720}{3}$$

Διαιρέστε το 720 με το 3.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x=240$$

Διαιρέστε το \frac{53}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{53}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{53}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\left(\frac{53}{6}\right)^{2}=240+\left(\frac{53}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{53}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}=240+\frac{2809}{36}$$

Προσθέστε το 240 και το \frac{2809}{36}.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}=\frac{11449}{36}$$

Παραγον x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{53}{6}\right)^{2}=\frac{11449}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{53}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11449}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{53}{6}=\frac{107}{6} x+\frac{53}{6}=-\frac{107}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{53}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$