Επίλυση 3x^2+4x+1=0

$$3 { x }^{ 2 } +4x+1=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=1 b=3$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+4x+1 ως \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x+1=0 και x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 4 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 16 και το -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±2}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±2}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το -6 με το 6.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+4x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{3} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{2}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$