Επίλυση 3x^2+3x+5=0

$$3 { x }^{ 2 } +3x+5=0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,190238071i$$

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,190238071i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 3 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 5}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 9 και το -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{6}$$

Διαιρέστε το -3+i\sqrt{51} με το 6.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{51} από -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{6}$$

Διαιρέστε το -3-i\sqrt{51} με το 6.

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+3x+5-5=-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+3x=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Διαιρέστε το 3 με το 3.

$$x^{2}+x=-\frac{5}{3}$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{3} και το \frac{1}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{12}$$

Παραγον x^{2}+x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{12}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{51}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{51}i}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$