Επίλυση 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 17.

$$a=2 b=15$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+17x+10 ως \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x+2=0 και x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 17 και το c με 10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 17 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 289 και το -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±13}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -17 και το 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±13}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Διαιρέστε το -30 με το 6.

$$x=-5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

Η αφαίρεση του 10 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{17}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{17}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{17}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{17}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Προσθέστε το -\frac{10}{3} και το \frac{289}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Παραγον x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{17}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$