Επίλυση 3x^2+17x+10

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10$$

Παράγοντας

$$\left(x+5\right)\left(3x+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 17.

$$a=2 b=15$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+17x+10 ως \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 17 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 289 και το -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±13}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -17 και το 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±13}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Διαιρέστε το -30 με το 6.

$$x=-5$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{2}{3} με το x_{1} και το -5 με το x_{2}.

$$3x^{2}+17x+10=3\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3x^{2}+17x+10=3\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+5\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3x^{2}+17x+10=3\times \frac{3x+2}{3}\left(x+5\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3x^{2}+17x+10=\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x+5\right)\left(3x+2\right)$$