Επίλυση 3f^2+15f-42

$$3 { f }^{ 2 } +15f-42$$

Παράγοντας

$$3\left(f-2\right)\left(f+7\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 3.

$$3\left(f^{2}+5f-14\right)$$

Υπολογίστε f^{2}+5f-14. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως f^{2}+af+bf-14. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=1\left(-14\right)=-14$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -14.

$$-1,14 -2,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-2 b=7$$

Γράψτε πάλι το f^{2}+5f-14 ως \left(f^{2}-2f\right)+\left(7f-14\right).

$$\left(f^{2}-2f\right)+\left(7f-14\right)$$

Παραγοντοποιήστε f στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$f\left(f-2\right)+7\left(f-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο f-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(f-2\right)\left(f+7\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$3\left(f-2\right)\left(f+7\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3f^{2}+15f-42=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$f=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 3\left(-42\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 15 στο τετράγωνο.

$$f=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 3\left(-42\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$f=\frac{-15±\sqrt{225-12\left(-42\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -42.

$$f=\frac{-15±\sqrt{225+504}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 225 και το 504.

$$f=\frac{-15±\sqrt{729}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 729.

$$f=\frac{-15±27}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$f=\frac{-15±27}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση f=\frac{-15±27}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -15 και το 27.

$$f=\frac{12}{6}$$

Διαιρέστε το 12 με το 6.

$$f=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση f=\frac{-15±27}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 27 από -15.

$$f=-\frac{42}{6}$$

Διαιρέστε το -42 με το 6.

$$f=-7$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 2 με το x_{1} και το -7 με το x_{2}.

$$3f^{2}+15f-42=3\left(f-2\right)\left(f-\left(-7\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3f^{2}+15f-42=3\left(f-2\right)\left(f+7\right)$$

Υπολογισμός

$$3\left(f-2\right)\left(f+7\right)$$