Επίλυση 3sqrt{2x-3}+2sqrt{7-x}=11

$$3 \sqrt{ 2x-3 } +2 \sqrt{ 7-x } =11$$

Λύση ως προς x

$$x=6$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε 2\sqrt{7-x} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3\sqrt{2x-3}=11-2\sqrt{7-x}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}.

$$3^{2}\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$9\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x-3}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x-3.

$$9\left(2x-3\right)=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 9 με το 2x-3.

$$18x-27=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{7-x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(7-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+28-4x$$

Προσθέστε 121 και 28 για να λάβετε 149.

$$18x-27=149-44\sqrt{7-x}-4x$$

Αφαιρέστε 149-4x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$18x-27-\left(149-4x\right)=-44\sqrt{7-x}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 149-4x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$18x-27-149+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Αφαιρέστε 149 από -27 για να λάβετε -176.

$$18x-176+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Συνδυάστε το 18x και το 4x για να λάβετε 22x.

$$22x-176=-44\sqrt{7-x}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(22x-176\right)^{2}=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(22x-176\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\right)^{2}\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -44στη δύναμη του 2 και λάβετε 1936.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{7-x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(7-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1936 με το 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=13552-1936x$$

Αφαιρέστε 13552 και από τις δύο πλευρές.

$$484x^{2}-7744x+30976-13552=-1936x$$

Αφαιρέστε 13552 από 30976 για να λάβετε 17424.

$$484x^{2}-7744x+17424=-1936x$$

Προσθήκη 1936x και στις δύο πλευρές.

$$484x^{2}-7744x+17424+1936x=0$$

Συνδυάστε το -7744x και το 1936x για να λάβετε -5808x.

$$484x^{2}-5808x+17424=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 484, το b με -5808 και το c με 17424 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{\left(-5808\right)^{2}-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Υψώστε το -5808 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 484.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-1936\times 17424}}{2\times 484}$$

Πολλαπλασιάστε το -1936 επί 17424.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-33732864}}{2\times 484}$$

Προσθέστε το 33732864 και το -33732864.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{0}}{2\times 484}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{-5808}{2\times 484}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5808 είναι 5808.

$$x=\frac{5808}{2\times 484}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 484.

$$x=\frac{5808}{968}$$

Διαιρέστε το 5808 με το 968.

$$x=6$$

Αντικαταστήστε το x με 6 στην εξίσωση 3\sqrt{2x-3}+2\sqrt{7-x}=11.

$$3\sqrt{2\times 6-3}+2\sqrt{7-6}=11$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=6 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$11=11$$

Η εξίσωση 3\sqrt{2x-3}=-2\sqrt{7-x}+11 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=6$$