Επίλυση 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0,25-0,968245837i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Συνδυάστε το 2x και το -4x για να λάβετε -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

Αφαιρέστε 5 από 1 για να λάβετε -4.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -4, το b με -2 και το c με -4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 16 επί -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Προσθέστε το 4 και το -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Διαιρέστε το 2+2i\sqrt{15} με το -8.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{15} από 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Διαιρέστε το 2-2i\sqrt{15} με το -8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Συνδυάστε το 2x και το -4x για να λάβετε -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

Αφαιρέστε 1 από 5 για να λάβετε 4.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -4.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Η διαίρεση με το -4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Διαιρέστε το 4 με το -4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Διαιρέστε το \frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$