Επίλυση 28x^2+x-2

$$28 x ^ { 2 } + x - 2$$

Παράγοντας

$$\left(4x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 28x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=1 ab=28\left(-2\right)=-56$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-7 b=8$$

Γράψτε πάλι το 28x^{2}+x-2 ως \left(28x^{2}-7x\right)+\left(8x-2\right).

$$\left(28x^{2}-7x\right)+\left(8x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 7x στην πρώτη και το 2 στη δεύτερη ομάδα.

$$7x\left(4x-1\right)+2\left(4x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$28x^{2}+x-2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 28.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-112\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Πολλαπλασιάστε το -112 επί -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\times 28}$$

Προσθέστε το 1 και το 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\times 28}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 225.

$$x=\frac{-1±15}{2\times 28}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 28.

$$x=\frac{-1±15}{56}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±15}{56} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 15.

$$x=\frac{14}{56}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{14}{56} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$x=\frac{1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±15}{56} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 15 από -1.

$$x=-\frac{16}{56}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{56} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=-\frac{2}{7}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{4} με x_{1} και το -\frac{2}{7} με x_{2}.

$$28x^{2}+x-2=28\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{7}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$28x^{2}+x-2=28\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$28x^{2}+x-2=28\times \frac{4x-1}{4}\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{7} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$28x^{2}+x-2=28\times \frac{4x-1}{4}\times \frac{7x+2}{7}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{4x-1}{4} επί \frac{7x+2}{7} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$28x^{2}+x-2=28\times \frac{\left(4x-1\right)\left(7x+2\right)}{4\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 7.

$$28x^{2}+x-2=28\times \frac{\left(4x-1\right)\left(7x+2\right)}{28}$$

Απαλοιφή του 28, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 28 και 28.

$$28x^{2}+x-2=\left(4x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Υπολογισμός

$$28x^{2}+x-2$$