Επίλυση 28k^2+k-2=0

$$28 k ^ { 2 } + k - 2 = 0$$

Λύση ως προς k

$$k=\frac{1}{4}=0,25$$

$$k=-\frac{2}{7}\approx -0,285714286$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 28k^{2}+ak+bk-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=1 ab=28\left(-2\right)=-56$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-7 b=8$$

Γράψτε πάλι το 28k^{2}+k-2 ως \left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right).

$$\left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 7k στην πρώτη και το 2 στη δεύτερη ομάδα.

$$7k\left(4k-1\right)+2\left(4k-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4k-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4k-1\right)\left(7k+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 4k-1=0 και 7k+2=0.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 28, το b με 1 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Πολλαπλασιάστε το -112 επί -2.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\times 28}$$

Προσθέστε το 1 και το 224.

$$k=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\times 28}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 225.

$$k=\frac{-1±15}{2\times 28}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 28.

$$k=\frac{-1±15}{56}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-1±15}{56} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 15.

$$k=\frac{14}{56}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{14}{56} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$k=\frac{1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-1±15}{56} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 15 από -1.

$$k=-\frac{16}{56}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{56} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$k=-\frac{2}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$28k^{2}+k-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Η αφαίρεση του -2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$28k^{2}+k=-\left(-2\right)$$

Αφαιρέστε -2 από 0.

$$28k^{2}+k=2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 28.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=\frac{2}{28}$$

Η διαίρεση με το 28 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 28.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{2}{28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{1}{14}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{28}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{56}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{56} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{56} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{1}{14}+\frac{1}{3136}$$

Προσθέστε το \frac{1}{14} και το \frac{1}{3136} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{225}{3136}$$

Παραγοντοποιήστε το k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{225}{3136}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{3136}}$$

Απλοποιήστε.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{15}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{15}{56}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{56} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$