Επίλυση 27x^2-12x-4

$$27 x ^ { 2 } - 12 x - 4$$

Παράγοντας

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 27x^{2}+ax+bx-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-12 ab=27\left(-4\right)=-108$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -12.

$$a=-18 b=6$$

Γράψτε πάλι το 27x^{2}-12x-4 ως \left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 9x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$9x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$27x^{2}-12x-4=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-108\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Πολλαπλασιάστε το -108 επί -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 27}$$

Προσθέστε το 144 και το 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 27}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 27}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 27}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 27.

$$x=\frac{12±24}{54}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±24}{54} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 24.

$$x=\frac{36}{54}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{36}{54} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 18.

$$x=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±24}{54} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 24 από 12.

$$x=-\frac{12}{54}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{54} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{2}{9}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{2}{3} με το x_{1} και το -\frac{2}{9} με το x_{2}.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{9}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{2}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{9} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{9x+2}{9}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3x-2}{3} επί \frac{9x+2}{9} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{3\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 9.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{27}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 27 σε 27 και 27.

$$27x^{2}-12x-4=\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$