Επίλυση 26^2=x^2+(x+14)^2

$$26 ^ { 2 } = x ^ { 2 } + ( x + 14 ) ^ { 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-24$$

$$x=10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Υπολογίστε το 26στη δύναμη του 2 και λάβετε 676.

$$676=x^{2}+\left(x+14\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+14\right)^{2}.

$$676=x^{2}+x^{2}+28x+196$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$676=2x^{2}+28x+196$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$2x^{2}+28x+196=676$$

Αφαιρέστε 676 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+28x+196-676=0$$

Αφαιρέστε 676 από 196 για να λάβετε -480.

$$2x^{2}+28x-480=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$x^{2}+14x-240=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-240. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -240.

$$-1,240 -2,120 -3,80 -4,60 -5,48 -6,40 -8,30 -10,24 -12,20 -15,16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+240=239 -2+120=118 -3+80=77 -4+60=56 -5+48=43 -6+40=34 -8+30=22 -10+24=14 -12+20=8 -15+16=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=-10 b=24$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+14x-240 ως \left(x^{2}-10x\right)+\left(24x-240\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(24x-240\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 24 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-10\right)+24\left(x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-10\right)\left(x+24\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-10=0 και x+24=0.

$$x=10 x=-24$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Υπολογίστε το 26στη δύναμη του 2 και λάβετε 676.

$$676=x^{2}+\left(x+14\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+14\right)^{2}.

$$676=x^{2}+x^{2}+28x+196$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$676=2x^{2}+28x+196$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$2x^{2}+28x+196=676$$

Αφαιρέστε 676 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+28x+196-676=0$$

Αφαιρέστε 676 από 196 για να λάβετε -480.

$$2x^{2}+28x-480=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 28 και το c με -480 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 2\left(-480\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 28 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 2\left(-480\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-8\left(-480\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -480.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+3840}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 784 και το 3840.

$$x=\frac{-28±\sqrt{4624}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4624.

$$x=\frac{-28±68}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-28±68}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-28±68}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -28 και το 68.

$$x=\frac{40}{4}$$

Διαιρέστε το 40 με το 4.

$$x=10$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-28±68}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 68 από -28.

$$x=-\frac{96}{4}$$

Διαιρέστε το -96 με το 4.

$$x=-24$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=10 x=-24$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Υπολογίστε το 26στη δύναμη του 2 και λάβετε 676.

$$676=x^{2}+\left(x+14\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+14\right)^{2}.

$$676=x^{2}+x^{2}+28x+196$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$676=2x^{2}+28x+196$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$2x^{2}+28x+196=676$$

Αφαιρέστε 196 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+28x=676-196$$

Αφαιρέστε 196 από 676 για να λάβετε 480.

$$2x^{2}+28x=480$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+28x}{2}=\frac{480}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{28}{2}x=\frac{480}{2}$$

Διαιρέστε το 28 με το 2.

$$x^{2}+14x=\frac{480}{2}$$

Διαιρέστε το 480 με το 2.

$$x^{2}+14x=240$$

Διαιρέστε το 14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+14x+7^{2}=240+7^{2}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+14x+49=240+49$$

Προσθέστε το 240 και το 49.

$$x^{2}+14x+49=289$$

Παραγον x^{2}+14x+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=289$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{289}$$

Απλοποιήστε.

$$x+7=17 x+7=-17$$

Αφαιρέστε 7 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=10 x=-24$$