Επίλυση 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 256x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 256.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -32.

$$a=-16 b=-16$$

Γράψτε πάλι το 256x^{2}-32x+1 ως \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 16x στην πρώτη και το -1 στη δεύτερη ομάδα.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 16x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 256, το b με -32 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Υψώστε το -32 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Προσθέστε το 1024 και το -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -32 είναι 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{32}{512} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

Η διαίρεση με το 256 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-32}{256} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{8}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{16}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{16} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{256} και το \frac{1}{256} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Προσθέστε \frac{1}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=\frac{1}{16}$$