Επίλυση 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1,8+0,2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1,8-0,2i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 25, το b με -90 και το c με 82 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Υψώστε το -90 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -100 επί 82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 8100 και το -8200.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -90 είναι 90.

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{90±10i}{50} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 90 και το 10i.

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

Διαιρέστε το 90+10i με το 50.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{90±10i}{50} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10i από 90.

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

Διαιρέστε το 90-10i με το 50.

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Αφαιρέστε 82 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

Η αφαίρεση του 82 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$25x^{2}-90x=-82$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

Η διαίρεση με το 25 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-90}{25} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

Διαιρέστε το -\frac{18}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{82}{25} και το \frac{81}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

Παραγον x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

Προσθέστε \frac{9}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$